Аналитическая геометрия

Коллоквиум | Семестер 2

Плоскости и прямые Уравнения плоскости: все виды Пучок и связка плоскостей Прямая: векторная и параметрическая формы Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой Прямая и плоскость Две прямые в пространстве
Углы и расстояния Угол между прямыми Расстояния от точки Расстояние между скрещивающимися прямыми
Поверхности второго порядка Эллипсоид и его сечения Однополостный гиперболоид Асимптотический конус Сечения однополостного гиперболоида Двуполостный гиперболоид Сечения двуполостного гиперболоида Эллиптический параболоид Сечения эллиптического параболоида Гиперболический параболоид Сечения гиперболического параболоида
Линейчатые, цилиндрические и конические поверхности Линейчатые поверхности Образующие однополостного гиперболоида Образующие гиперболического параболоида Цилиндрические поверхности Конические поверхности Коники второго порядка
Вращение Поверхности вращения Конусы вращения

Плоскости и прямые

Способы задания плоскости, прямой и проверка их взаимного положения.

1. Пучок плоскостей и связка плоскостей

Пучок — все плоскости через одну общую прямую. Связка — все плоскости через одну общую точку.

Пучок: \(\lambda\Pi_1+\mu\Pi_2=0\), где \((\lambda,\mu)\ne(0,0)\)
Связка с центром \(M_0(x_0,y_0,z_0)\): \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)

Запомнить: пучок → общая прямая; связка → общая точка.

Подробно

Если \(\Pi_1\) и \(\Pi_2\) пересекаются, то линейная комбинация их уравнений задаёт плоскость, проходящую через линию пересечения. Коэффициенты \(\lambda\) и \(\mu\) не должны одновременно равняться нулю.

Уравнение связки получается из того, что любая её плоскость должна проходить через фиксированную точку. Вектор \((A,B,C)\) является нормалью плоскости.

↑ К краткому определению

2. Векторное и параметрическое уравнение прямой

Прямая задаётся точкой \(M_0\) и ненулевым направляющим вектором \(\vec s=(l,m,n)\).

\(\vec r=\vec r_0+t\vec s\), \(t\in\mathbb R\)
\(x=x_0+lt,\quad y=y_0+mt,\quad z=z_0+nt\)

Подробно

При каждом значении параметра \(t\) получается точка прямой. При изменении \(t\) от \(-\infty\) до \(+\infty\) описывается вся прямая. Направляющий вектор может быть любым ненулевым вектором, параллельным прямой.

↑ К краткому определению

3. Каноническое уравнение прямой и прямая через две точки

Каноническая форма получается исключением параметра из параметрических уравнений.

\(\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\)
Через \(M_1,M_2\): \(\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}\)

Если координата направляющего вектора равна нулю, соответствующую координату записывают отдельно, например \(x=x_0\).

Подробно

Для двух точек направляющий вектор равен \(\overrightarrow{M_1M_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\). Две различные точки однозначно определяют прямую.

↑ К краткому определению

4. Общее уравнение прямой

В пространстве прямая — линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

\(\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{cases}\)

Две различные непараллельные плоскости пересекаются ровно по одной прямой.

Почему это прямая

Каждое уравнение задаёт плоскость. Точки, удовлетворяющие обоим уравнениям, принадлежат обеим плоскостям, а значит лежат на их линии пересечения.

Теорема

Через заданную прямую можно провести бесконечно много плоскостей. Выбрав две разные плоскости, содержащие эту прямую, получаем её представление как их пересечения.

↑ К краткому определению

5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Для прямой с направляющим \(\vec s=(l,m,n)\) и плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) нормаль: \(\vec n=(A,B,C)\)

\(\vec s\cdot\vec n\ne0\) → прямая пересекает плоскость
\(\vec s\cdot\vec n=0\) → прямая параллельна плоскости; проверка точки отличает строгую параллельность от принадлежности

Алгоритм

  1. Вычислить \(Al+Bm+Cn\).
  2. Если результат не равен нулю, есть единственная точка пересечения.
  3. Если результат равен нулю, подставить любую точку прямой в уравнение плоскости.
  4. Равенство нулю означает \(l\subset\Pi\), ненулевой результат — строгую параллельность.
↑ К краткому определению

6. Взаимное расположение двух прямых

Возможны четыре случая: совпадение, параллельность, пересечение и скрещивание.

Если \(\vec s_1\times\vec s_2=0\), прямые либо совпадают, либо параллельны
\([\vec a,\vec s_1,\vec s_2]=0\) → прямые компланарны; ненулевое смешанное произведение → скрещиваются

Подробно

Здесь \(\vec a=\overrightarrow{M_1M_2}\), где \(M_1\) и \(M_2\) — по одной точке на каждой прямой. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку. Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости.

↑ К краткому определению

Углы и расстояния

Скалярное, векторное и смешанное произведения в задачах на положение и расстояние.

7. Угол между двумя прямыми

Угол между прямыми — острый угол между их направляющими векторами.

\(\cos\varphi=\dfrac{|\vec s_1\cdot\vec s_2|}{|\vec s_1|\,|\vec s_2|}\)
\(\cos\varphi=\dfrac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}\)

Подробно

Модуль в числителе позволяет выбрать меньший из двух углов между направлениями. Если скалярное произведение равно нулю, прямые перпендикулярны.

↑ К краткому определению

8. Расстояние от точки до прямой и плоскости

До прямой: длина перпендикуляра

\(d(M,l)=\dfrac{|\overrightarrow{M_0M}\times\vec s|}{|\vec s|}\)

До плоскости: модуль нормированной подстановки

\(d(M_0,\Pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

Обозначения

В формуле для прямой \(M_0\) — известная точка на прямой, \(\vec s\) — её направляющий вектор. В формуле для плоскости \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) — заданная точка.

↑ К краткому определению

9. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра.

\(d=\dfrac{|\overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\vec s_1\times\vec s_2)|}{|\vec s_1\times\vec s_2|}\)

Почему формула работает

Векторное произведение \(\vec s_1\times\vec s_2\) перпендикулярно обеим прямым. Смешанное произведение берёт проекцию \(\overrightarrow{M_1M_2}\) на это направление, то есть длину общего перпендикуляра.

↑ К краткому определению

Поверхности второго порядка

Канонические уравнения, свойства и типы сечений основных поверхностей.

10. Эллипсоид

Эллипсоид — центральная поверхность второго порядка с тремя полуосями \(a,b,c\).

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

Все полуоси различны → трёхосный эллипсоид; две равны → эллипсоид вращения; \(a=b=c\) → сфера.

Свойства

  • Замкнут и ограничен.
  • Имеет центр симметрии в начале координат.
  • Симметричен относительно координатных плоскостей.
  • Полуоси равны \(a,b,c\).
↑ К краткому определению

11. Сечения эллипсоида

Координатные сечения эллипсоида — эллипсы

\(z=0:\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\); \(x=0:\ \dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\); \(y=0:\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

Плоскости, перпендикулярные координатным осям, дают эллипсы или точки.

Подробно

Чтобы найти сечение координатной плоскостью, достаточно положить соответствующую координату равной нулю и упростить исходное уравнение. Для произвольной секущей плоскости возможны эллипс, точка или пустое множество.

↑ К краткому определению

12. Однополостный гиперболоид

Центральная неограниченная поверхность, у которой два квадрата имеют знак «плюс», один — знак «минус».

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

Имеет центр, ось симметрии, симметрична относительно координатных плоскостей и является линейчатой.

Подробно

Поверхность связна и неограниченна. При фиксированном \(z\) её горизонтальные сечения — эллипсы, размеры которых увеличиваются при удалении от плоскости \(z=0\).

↑ К краткому определению

13. Асимптотический конус гиперболоида

Асимптотический конус получают заменой правой части канонического уравнения гиперболоида на ноль

Однополостный: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0\)
Двуполостный: \(\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0\)

Смысл

Конус описывает направления, в которых гиперболоид уходит на бесконечность. Для центральной поверхности это соответствует отбрасыванию свободного члена.

↑ К краткому определению

14. Сечения однополостного гиперболоида

Для \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\) основные типы сечений: эллипсы, гиперболы и параболы

\(z=h:\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1+\dfrac{h^2}{c^2}\) → эллипс
\(x=h:\ \dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1-\dfrac{h^2}{a^2}\) → гипербола или вырожденное сечение

Подробно

Плоскости, параллельные образующим, могут давать параболы. В особых положениях плоскости появляются вырожденные случаи.

↑ К краткому определению

15. Двуполостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей; один квадрат в уравнении имеет знак «плюс».

\(\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)

Поверхность существует только при \(|z|\ge c\), имеет центр и ось симметрии \(Oz\).

Свойства

  • Две полости, не соединённые между собой.
  • Неограниченная поверхность.
  • Симметрия относительно координатных плоскостей.
  • Вершины расположены на оси \(Oz\): \(z=\pm c\).
↑ К краткому определению

16. Сечения двуполостного гиперболоида

При сечении плоскостью \(z=h\) тип зависит от величины \(|h|\) относительно \(c\)

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{h^2}{c^2}-1\)

\(|h|>c\) → эллипс; \(|h|=c\) → точка; \(|h|<c\) → действительных точек нет. Плоскости, параллельные \(Oz\), могут дать гиперболы.

Подробно

Правая часть после подстановки должна быть неотрицательной. При равенстве нулю эллипс вырождается в точку, а при отрицательном значении сечение отсутствует.

↑ К краткому определению

17. Эллиптический параболоид

Нецентральная поверхность с вершиной, горизонтальные сечения которой — эллипсы.

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2z\), или \(z=\dfrac{x^2}{2a^2}+\dfrac{y^2}{2b^2}\)

Не имеет центра, неограничен, состоит из одной части и открывается вдоль оси \(Oz\).

Свойства

Имеет вершину в начале координат и одну ось симметрии. Сечения плоскостями через ось — параболы.

↑ К краткому определению

18. Сечения эллиптического параболоида

Для \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2z\): горизонтальное сечение — эллипс, осевые вертикальные сечения — параболы

\(z=h>0:\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2h\) → эллипс
\(x=0:\ \dfrac{y^2}{b^2}=2z\); \(y=0:\ \dfrac{x^2}{a^2}=2z\) → параболы

Подробно

При \(h=0\) горизонтальное сечение вырождается в вершину; при \(h<0\) действительных точек нет для параболоида, открытого в сторону положительного \(Oz\).

↑ К краткому определению

19. Гиперболический параболоид

Нецентральная седловая поверхность; горизонтальные сечения — гиперболы, вертикальные в особых направлениях — параболы.

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2z\)

Не имеет центра, неограничен и является линейчатой поверхностью.

Смысл формы

Знаки «плюс» и «минус» при квадратах создают седловую точку. Поверхность имеет две системы прямолинейных образующих.

↑ К краткому определению

20. Сечения гиперболического параболоида

Для \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2z\) типичные сечения — гиперболы и параболы

\(z=h:\ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2h\) → гипербола
\(x=0:\ -\dfrac{y^2}{b^2}=2z\); \(y=0:\ \dfrac{x^2}{a^2}=2z\) → параболы

Подробно

Плоскости, проходящие через ось и параллельные координатным направлениям, выделяют параболические сечения. Горизонтальные плоскости дают гиперболы.

↑ К краткому определению

Линейчатые, цилиндрические и конические поверхности

Образующие, направляющие кривые и однородные уравнения поверхностей.

21. Линейчатая поверхность

Линейчатая поверхность получается движением прямой; движущаяся прямая называется прямолинейной образующей.

Примеры: плоскость, цилиндр, конус, однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид.

Семейства образующих

У некоторых поверхностей одно семейство образующих, у других — два. Дважды линейчатая поверхность содержит через каждую точку две прямые разных семейств.

↑ К краткому определению

22. Образующие однополостного гиперболоида

Однополостный гиперболоид — дважды линейчатая поверхность.

Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие разных семейств; образующие одного семейства не пересекаются, образующие разных семейств обычно пересекаются.

Уравнение поверхности

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

Это свойство объясняет, почему поверхность можно построить движением прямой, хотя внешне она выглядит криволинейной.

↑ К краткому определению

23. Образующие гиперболического параболоида

Гиперболический параболоид также является дважды линейчатой поверхностью

\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2z\)

Через каждую точку проходят две прямые разных семейств, целиком лежащие на поверхности.

Подробно

Наличие двух семейств прямых связано с седловой формой поверхности и используется при построении гиперболических параболоидов.

↑ К краткому определению

24. Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой, параллельной фиксированному направлению и пересекающей направляющую кривую

Образующие параллельны \(Oz\) → уравнение не содержит \(z\): \(F(x,y)=0\)
Эллиптический: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\); гиперболический: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\); параболический: \(y^2=2px\)

Пример

Уравнение \(x^2+y^2=R^2\) задаёт круговой цилиндр с образующими, параллельными оси \(Oz\).

↑ К краткому определению

25. Конические поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямой, проходящей через фиксированную вершину и пересекающей направляющую кривую

Для вершины в начале координат типично однородное уравнение: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0\)

Если \(M(x,y,z)\) принадлежит конусу с вершиной в начале, то точки \((tx,ty,tz)\) лежат на той же образующей.

Главное свойство

Все образующие конической поверхности проходят через одну неподвижную точку — вершину. Однородность уравнения отражает инвариантность относительно растяжения от вершины.

↑ К краткому определению

26. Конические поверхности второго порядка

Коника второго порядка задаётся однородным уравнением второй степени

\(Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Exz+2Fyz=0\)
Эллиптический конус: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0\). Круговой конус: \(x^2+y^2=k^2z^2\)

Сечения

При пересечении плоскостями получаются эллипсы, гиперболы, параболы и вырожденные случаи. При \(a=b\) эллиптический конус становится круговым.

↑ К краткому определению

Поверхности вращения

Получение поверхностей вращением кривой вокруг оси.

27. Поверхности вращения

Поверхность вращения получается вращением плоской кривой вокруг лежащей в её плоскости оси

Примеры: сфера, цилиндр, конус, эллипсоид вращения, гиперболоиды вращения, параболоид вращения.

При вращении вокруг \(Oz\) уравнение часто выражают через \(x^2+y^2\). Например, сфера: \(x^2+y^2+z^2=R^2\)

Подробно

Каждая точка исходной кривой описывает окружность вокруг оси. Совокупность этих окружностей и образует поверхность вращения.

↑ К краткому определению

28. Конусы вращения

Конус вращения получается вращением прямой вокруг пересекающей её оси

Для вершины в начале и оси \(Oz\): \(x^2+y^2=k^2z^2\)
Если \(\alpha\) — угол между образующей и осью: \(x^2+y^2=z^2\tan^2\alpha\)

Термины

Неподвижная прямая называется осью конуса, а точка пересечения образующей с осью — вершиной. Параметр \(k\) определяет угол раскрытия конуса.

↑ К краткому определению